Question

【题目】如图，抛物线经过两点，与x轴交于另一点B．点P是抛物线上的动点。

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点P，使得△BCP是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）当P运动到第一象限时，过P作直线PM平行y轴，交直线BC于点M。

①求线段PM长度的最大值

②D为平面内任意一点，当线段PM最大时，是否存在以C、P、M、D为顶点的平行四边形。若存在，直接写出所有符合条件的点D坐标.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)见解析;(3) ①4; ②D1,D2 ,D3.

【解析】分析: （1）把两点代入求出抛物线解析式；

（2）先确定B（4，0），则判断△OBC为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，设第一种情况，当以C为直角顶点时，过点P作PT⊥y轴，利用TC=TP，可列方程，即可求得满足条件的P点坐标；第二种情况，当以B为直角顶点时，过点P作PH⊥x轴，可得PH=HB,从而, 即可求得满足条件的P点坐标；

（3）①求出直线BC解析式, 根据PM平行y轴用二次函数表示P M的长度从而表示出PM的最大值;

②分3种情况:CM为对角线;MP为对角线;CP为对角线.

详解:

（1）将两点代入到中得，

∴抛物线的解析式为.

（2） 存在．

第一种情况，当以C为直角顶点时，过点P作PT⊥y轴，垂足为T。

由抛物线的解析式可得B点坐标为（4,0）

∴OB=OC，∠BOC =90°

∴∠OCB=∠OBC=45°．

∵∠BCP=90°，

∴∠TCP =45°=∠C PT．

∴TC=TP

设

即：，

解得：（舍去），．

∴

则P1的坐标是．

第二种情况，当以B为直角顶点时，

过点P作PH⊥x轴，垂足为H./span>∵∠CBA=45°，∠CBP=90°，

∴∠OBP=45°．∴∠HPB=45°，

∴PH=HB．

即：，

解得：（舍去），．

∴

则P2的坐标是．

综上所述，P的坐标是或

(3)① ∵B（4,0）， ∴直线BC解析式为

又∵PM平行y轴，设

∴M。

则P M ==

∴线段PM长度的最大值为4.

②D1,D2 ,D3