【题目】如图1，抛物线与x轴交于A，B，与y轴交于C，抛物线的顶点为D，直线l过C交x轴于E（4，0）．

（1）写出D的坐标和直线l的解析式；

（2）P（x，y）是线段BD上的动点（不与B，D重合），PF⊥x轴于F，设四边形OFPC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；

（3）点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于N，连接CN，将△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′．在图2中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

【答案】（1）D（1，4），；（2）S=（），S最大值为；（3）Q的坐标为（，0）或（4，0）．

【解析】

试题分析：（1）先把抛物线解析式变成顶点式即可得到D点坐标，再求出C点坐标，然后利用待定系数法求直线l的解析式；

（2）先求出B（3，0），再求出直线BD的解析式为，则P（x，），根据梯形的面积公式可得S=（），再利用而此函数的性质求S的最大值；

（3）如图2，设Q（t，0）（t＞0），则M（t，），N（t，），利用两点间的距离公式得到MN=，CM=，然后证明NM=CM得到=，再解方程求满足条件的t的值，从而得到点Q的坐标．

试题解析：（1）∵=，∴D（1，4），在中，当x=0时，y=3，则C（0，3），设直线l的解析式为，把C（0，3），E（4，0）分别代入得：，解得：，∴直线l的解析式为；

（2）如图（1），当y=0时，，解得，，则B（3，0），设直线BD的解析式为，把B（3，0），D（1，4）分别代入得：，解得：，∴直线BD的解析式为，则P（x，），∴S==（），∵S=，∴当x=时，S有最大值，最大值为；

（3）存在．

如图2，设Q（t，0）（t＞0），则M（t，），N（t，），∴MN==，CM==，∵△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′，M′落在y轴上，而QN∥y轴，∴MN∥CM′，NM=NM′，CM′=CM，∠CNM=∠CNM′，∴∠M′CN=∠CNM，∴∠M′CN=∠CNM′，∴CM′=NM′，∴NM=CM，∴=，

当=，解得t1=0（舍去），t2=4，此时Q点坐标为（4，0）；

当=，解得t1=0（舍去），t2=，此时Q点坐标为（，0），

综上所述，点Q的坐标为（，0）或（4，0）．

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