Question

【题目】如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．

（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，

∴∠2=∠5，∠4=∠6，

∵MN∥BC，

∴∠1=∠5，∠3=∠6，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴EO=CO，FO=CO，

∴OE=OF

（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，

∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，

∵CE=12，CF=5，

∴EF= =13，

∴OC= EF=6.5

（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．

证明：当O为AC的中点时，AO=CO，

∵EO=FO，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵∠ECF=90°，

∴平行四边形AECF是矩形．

【解析】（1）根据角平分线的定义得到角相等，再由平行线的性质得到内错角相等，由等角对等边得到EO=CO，FO=CO，即OE=OF；（2）由互为邻补角的平分线互相垂直得到∠2+∠4=∠5+∠6=90°，根据勾股定理得到EF=13，求出OC的值；（3）根据矩形的判定方法可知，当O为AC的中点时得到四边形AECF是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可.