Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上的一点，线段BD的垂直平分线EG交AB于点E，交BD于点G．
（1）当∠B=30°时，AE和EF有什么关系？请说明理由；
（2）当点D在BC延长线上（CD＜BC）运动时，点E是否在线段AF的垂直平分线上？

Answer 1

【答案】
（1）解：AE=EF，

理由是：∵线段BD的垂直平分线EG交AB于点E，交BD于点G，

∴DE=BE，

∵∠B=30°，

∴∠D=∠B=30°，

∴∠DEA=∠D+∠B=60°，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，

∴∠A=60°，

∴∠A=∠DEA=60°，

∴△AEF是等边三角形，

∴AE=EF；

（2）解：点E是在线段AF的垂直平分线，

理由是：∵∠B=∠D，∠ACB=90°=∠FCD，

∴∠A=∠DFC，

∵∠DFC=∠AFE，

∴∠A=∠AFE，

∴EF=AE，

∴点E是在线段AF的垂直平分线．

【解析】（1）根据线段垂直平分线性质得出DE=BE，求出∠D=∠B=30°，根据三角形内角和定理和三角形外角性质求出∠A=∠DEA=60°，即可得出答案；（2）求出∠A=∠AFE，根据线段垂直平分线性质得出即可．
【考点精析】掌握线段垂直平分线的性质和含30度角的直角三角形是解答本题的根本，需要知道垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．