Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°.

(1)若AB=4，求弧CD的长.

(2)若弧BC=弧AD，AD=AP. 求证：PD是⊙O的切线.

Answer 1

【答案】（1）π；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）连接OC，OD，由圆周角定理得到∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，于是得到∠COD=90°，根据弧长公式即可得到结论；
（2）由已知条件得到∠BOC=∠AOD，由圆周角定理得到∠AOD=45°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA=∠OAD，求得∠ADP=CAD=22.5°，得到∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，于是得到结论．

试题解析：(1)连接OC，OD，

∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°

∴∠COD=90°

∵AB=4 ∴

∴的长

(2)∵ ∴∠BOC=∠AOD，

∵∠COD=90°，∴∠AOD=

∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，

∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180° ∴∠ODA= ，

∵AD=AP， ∴∠ADP=∠APD

∵∠CAD=∠ADP+∠APD， ∠CAD=45°，

∴∠ADP=∠CAD=22.5°，

∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°

又∵OD是半径，∴PD是⊙O的切线