Question

【题目】如图，∠ABC=45°，△ADE是等腰直角三角形，AE=AD，顶点A、D分别在∠ABC的两边BA、BC上滑动（不与点B重合），△ADE的外接圆交BC于点F，点D在点F的右侧，O为圆心．

（1）求证：△ABD≌△AFE

（2）若AB=4，8＜BE≤4，求⊙O的面积S的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）16π＜S≤40π

【解析】试题分析：（1）利用同弧所对的圆周角相等得出两组相等的角，再利用已知AE=AD，得出三角形全等；（2）利用△ABD≌△AFE，和已知条件得出BF的长，利用勾股定理和8＜BE≤4，求出EF,DF的取值范围， ，所以利用二次函数的性质求出最值.

试题解析：（1）连接EF，

∵△ADE是等腰直角三角形，AE=AD，

∴∠EAD=90°，∠AED=∠ADE=45°，

∵ ，

∴∠ADE=∠AFE=45°，

∵∠ABD=45°，

∴∠ABD=∠AFE，

∵，

∴∠AEF=∠ADB，

∵AE=AD，

∴△ABD≌△AFE；

（2）∵△ABD≌△AFE，

∴BD=EF，∠EAF=∠BAD，

∴∠BAF=∠EAD=90°，

∵ ，

∴BF==8，

设BD=x，则EF=x，DF=x﹣8，

∵BE2=EF2+BF2， ＜BE≤ ，

∴128＜EF2+82≤208，

∴8＜EF≤12，即8＜x≤12，

则=，

∵＞0，

∴抛物线的开口向上，

又∵对称轴为直线x=4，

∴当8＜x≤12时，S随x的增大而增大，

∴16π＜S≤40π．