Question

【题目】已知点在抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点的坐标为，直线交抛物线于另一点，过点作轴的垂线，垂足为，设抛物线与轴的正半轴交于点，连接，求证；

（3）如图2，直线分别交轴，轴于两点，点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为每秒个单位长度，同时点从原点出发，沿轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点是直线与抛物线的一个交点，当运动到秒时，，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2-x；（2）证明见解析；（3）；.

【解析】

试题分析：（1）把A，B两点坐标代入，解方程组求出a，b的值，即可得到二次函数解析式；

（2）过点A作AN⊥ｘ轴于点N，则N(-1，0)，再求出E点坐标，从而可求tan∠AEN=,再求出直线AF的解析式与抛物线方程联立,求出点G的坐标,则可得到tan∠FHO=，从而得证；

（3）进行分类讨论 即可得解.

试题解析：（1）∵点A（-1，1），B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上

∴a-b=1，16a+4b=6

解得：a=，b=-

∴抛物线的解析式为：y=x2-x

（2）过点A作AN⊥x轴于点N，则N(-1，0)

∴AN=1

当y=0时，x2-x=0

解得：x=0或1

∴E（1，0）

∴EN=2

∴tan∠AEN=

设直线AF的解析式为y=kx+m

∵A (-1,1)在直线AF上，

∴-k+m=1

即：k=m-1

∴直线AF的解析式可化为：y=(m-1)x+m

与y=x2-x联立，得（m-1）x+m=x2-x

∴(x+1)（x-2m）=0

∴x=-1或2m

∴点G的横坐标为2m

∴OH=2m

∵OF=m

∴tan∠FHO=

∴∠AEN=∠FHO

∴FH∥AE

（3）；.