Question

【题目】如图所示，Rt△PAB的直角顶点P（3，4）在函数y=（x＞0）的图象上，顶点A、B在函数y=（x＞0，0＜t＜k）的图象上，PA∥x轴，连接OP，OA，记△OPA的面积为S△OPA，△PAB的面积为S△PAB，设w=S△OPA﹣S△PAB．

①求k的值以及w关于t的表达式；

②若用wmax和wmin分别表示函数w的最大值和最小值，令T=wmax+a2﹣a，其中a为实数，求Tmin．

Answer 1

【答案】①求k的值以及w关于t的表达式； ②Tmin=．

【解析】

试题分析：（1）由点P的坐标表示出点A、点B的坐标，从而得S△PAB=PAPB=（4﹣）（3﹣），再根据反比例系数k的几何意义知S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=6﹣t，由w=S△OPA﹣S△PAB可得答案；（2）将（1）中所得解析式配方求得wmax=，代入T=wmax+a2﹣a配方即可得出答案．

试题解析：（1）∵点P（3，4），∴在y=中，当x=3时，y=，即点A（3，），

当y=4时，x=，即点B（，4），则S△PAB=PAPB=（4﹣）（3﹣），

如图，延长PA交x轴于点C，

则PC⊥x轴，又S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=×3×4﹣t=6﹣t，

∴w=6﹣t﹣（4﹣）（3﹣）=﹣t2+t；

（2）∵w=﹣t2+t=﹣（t﹣6）2+，∴wmax=，

则T=wmax+a2﹣a=a2﹣a+=（a﹣）2+，

∴当a=时，Tmin=．