Question

【题目】如图，在ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．
（1）试说明：AE⊥BF；
（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明．

Answer 1

【答案】
（1）解：方法一：如图①，

∵在ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC=180°．

∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，

∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF

∴2∠BAE+2∠ABF=180°．

即∠BAE+∠ABF=90°．

∴∠AMB=90°．

∴AE⊥BF．

方法二：如图②，延长BC、AE相交于点P，

∵在ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAP=∠APB．

∵AE平分∠DAB，

∴∠DAP=∠PAB．

∴∠APB=∠PAB．

∴AB=BP．

∵BF平分∠ABP，

∴AP⊥BF，

即AE⊥BF．

（2）解：方法一：线段DF与CE是相等关系，即DF=CE，

∵在ABCD中，CD∥AB，

∴∠DEA=∠EAB．

又∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE=∠EAB．

∴∠DEA=∠DAE．

∴DE=AD．（6分）

同理可得，CF=BC．

又∵在ABCD中，AD=BC，

∴DE=CF．

∴DE﹣EF=CF﹣EF．

即DF=CE．

方法二：如图，延长BC、AE设交于点P，延长AD、BF相交于点O，

∵在ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAP=∠APB．

∵AE平分∠DAB，

∴∠DAP=∠PAB．

∴∠APB=∠PAB．

∴BP=AB．

同理可得，AO=AB．

∴AO=BP．

∵在ABCD中，AD=BC，

∴OD=PC．

又∵在ABCD中，DC∥AB，

∴△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA．

∴ = ， = ．

∴DF=CE．

【解析】（1）因为AE，BF分别是∠DAB，∠ABC的角平分线，那么就有∠MAB= ∠DAB，∠MBA= ∠ABC，而∠DAB与∠ABC是同旁内角互补，所以，能得到∠MAB+∠MBA=90°，即得证．（2）两条线段相等．利用平行四边形的对边平行，以及角平分线的性质，可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形，那么就有CF=BC=AD=DE，再利用等量减等量差相等，可证．