Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，O是AC的中点，连接DO，过点C作CE∥DA，交DO的延长线于点E，连接AE．

（1）求证：四边形ADCE是矩形；

（2）若F是CE上的动点（点F不与C、E重合），连接AF、DF、BE，请直接写出图2中与四边形ABDF面积相等的所有的三角形和四边形（四边形ABDF除外）

Answer 1

【答案】(1)详见解析；（2）S四边形ABDF=S四边形ABDE．

【解析】

试题分析：（1）根据全等三角形的判定求出△ADO≌△CEO，求出OD=OE，根据平行四边形的判定得出四边形ADCE是平行四边形，再根据矩形的判定得出即可；（2）根据面积公式和等底等高的三角形的面积相等得出即可．

试题解析：（1）证明：∵CE∥DA，

∴∠OCE=∠OAD，

∵O为AC的中点，

∴OA=OC，

在△ADO和△CEO中

∴△ADO≌△CEO（ASA），

∴OD=OE，

∵OA=OC，

∴四边形ADCE是平行四边形，

∵AB=AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴平行四边形ADCE是矩形；

（2）解：图2中与四边形ABDF面积相等的所有的三角形和四边形有△ABC，△BCE，矩形ADCE，四边形ABDE，

理由是：∵△ACD和△AFD的面积相等（等底等高的三角形面积相等），

∴S△ADC=S△ADF，

∴S△ADC+S△ADB=S△ADF+S△ADB，

∴S四边形ABDF=S△ABC；

∵S△BCE=S△ABC，

∴S四边形ABDF=S△BCE；

∵S△ADB=S△ADC，S△ADF=S△AEC，

∴S四边形ABDF=S矩形ADCE；

∵S△ADF=S△ADE，

∴都加上△ADB的面积得：S四边形ABDF=S四边形ABDE．