Question

【题目】我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物面，经过锅心和盖心的纵断面是由两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”．锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图1所示，如果把锅纵断面的抛物线记为C1 ， 把锅盖纵断面的抛物线记为C2 ．

（1）求C1和C2的解析式；
（2）如图2，过点B作直线BE：y= x﹣1交C1于点E（﹣2，﹣ ），连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；

（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C1或C2上是否存在一点Q，使得△EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意A（﹣3，0），B（3，0），C（0，1），D（0，﹣3）

设抛物线记为C2的解析式为y=ax2+c，

把B（3，0），C（0，﹣1）代入得到 ，解得 ，

∴抛物线记为C2的解析式为y=﹣ x2+1，

同法可得抛物线记为C1的解析式为y= x2﹣3

（2）

解：∵y= x﹣1交C1于点E（﹣2，﹣ ），

∴BE= = ，

设直线BE与y轴的交点为F，

由y= x﹣1，可得F（0，﹣1），

∵OF=OC=1，OB=OB，∠BOC=∠BOF，

∴△BOC≌△BOF，

∴∠OBC=∠EOB，

因此可能存在两种情形，设P（x，0），

①当△PBC∽△OBE时， = ，即 = ，解得x= ，

∴点P坐标为（ ，0）．

②当△PBC∽△EBO时， = ，即 = ，解得x=﹣ ，

∴点P坐标为（﹣ ，0）．

③∵∠OBC≠∠AOE，

∴不存在点P在点B右侧的情形，

综上所述，满足条件的点P坐标（ ，0）或（﹣ ，0）

（3）

解：要使△EBQ的面积最大，则点Q到直线BE的距离最大时，过点Q的直线与直线BE平行，且与抛物线只有一个交点．

①如图1中，当点Q在C1上时，

设与抛物线只有一个交点的直线为y= x+b，则点Q（x， x+b），代入y= x2﹣3，得到 x2﹣3= x+b，整理得x2﹣x﹣9﹣3b=0，

∵△=0，

∴1﹣4（﹣9﹣3b）=0，

∴b=﹣ ，

∴y= x﹣ ，

由 ，解得 ，

∴Q（ ，﹣ ），

过Q作x轴的垂线交直线BE于M，

把x= 代入y= x﹣1，可得M（ ，﹣ ），

∴MQ=﹣ ﹣（﹣ ）= ，

∴△EBQ面积的最大值为 × ×（2+3）= ．

②如图2中，当Q在C2上时，

设与抛物线只有一个交点的直线为y= x+b′，则Q（x， x+b′），代入y=﹣ x2+1，可得x2+3x﹣9+9b′=0，

∵△=0，

∴9﹣4（9b′﹣9）=0，

∴b′= ，

∴y= x+ ，与y=﹣ x2+1联列方程组，解得Q（﹣ ， ），连接EQ，交x轴于N．

易知直线QE的解析式为y= x+8，

∴N（﹣ ，0），

∴BN=3﹣（﹣ ）= ，

∴△QEB的面积最大值为 × ×[ ﹣（﹣ ）]= = ，

∵ ＞ ，

∴△EBQ的面积的最大值为 ，此时Q（﹣ ， ）．

【解析】（1）根据题意确定A、B、C、D的坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）首先证明∠OBC=∠EOB，因此可能存在两种情形，设P（x，0），①当△PBC∽△OBE时，②当△PBC∽△EBO时，分别求解即可．（3）要使△EBQ的面积最大，则点Q到直线BE的距离最大时，过点Q的直线与直线BE平行，且与抛物线只有一个交点．①如图1中，当点Q在C1上时，设与抛物线只有一个交点的直线为y= x+b，则点Q（x， x+b），代入y= x2﹣3，得到 x2﹣3= x+b，整理得x2﹣x﹣9﹣3b=0，由△=0，可得1﹣4（﹣9﹣3b）=0，推出b=﹣ ，可得y= x﹣ ，由 ，求出Q的坐标即可解决问题．②如图2中，当Q在C2上时，同法可求．