Question

【题目】如图，直角梯形ABCD中，AB//DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C﹣D﹣A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l//AD，与线段CD的交点为E，与折线A﹣C﹣B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．

（1）当t=0.5时，求线段QM的长；
（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；
（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究 是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：过点C作CF⊥AB于F，则四边形AFCD为矩形．

∴CF=4，AF=2，

此时，Rt△AQM∽Rt△ACF，

∴ = ，

即 = ，

∴QM=1

（2）

解：∵∠DCA为锐角，故有两种情况：

①当∠CPQ=90°时，点P与点E重合，

此时DE+CP=CD，即t+t=2，∴t=1，在0＜t＜2内，

②当∠PQC=90°时，如备用图1，

此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴ = ，

由（1）知，EQ=EM﹣QM=4﹣2t，

而PE=PC﹣CE=PC﹣（DC﹣DE）=t﹣（2﹣t）=2t﹣2，

∴ = ，

∴t= ，在0＜t＜2内；

综上所述，t=1或

（3）

解： 为定值．

当t＞2时，如备用图2，PA=DA﹣DP=4﹣（t﹣2）=6﹣t，

由（1）得，BF=AB﹣AF=4，

∴CF=BF，

∴∠CBF=45°，

∴QM=MB=6﹣t，

∴QM=PA，

∵AB//DC，∠DAB=90°，

∴四边形AMQP为矩形，

∴PQ//AB，

∴△CRQ∽△CAB，

∴ = = = = ．

【解析】（1）过点C作CF⊥AB于F，则四边形AFCD为矩形，易知CF=4，AF=2，利用平行线分线段成比例定理的推论可知Rt△AQM∽Rt△ACF，那么可得比例线段，从而求出QM；（2）由于∠DCA为锐角，故有两种情况：
①当∠CPQ=90°时，点P与点E重合，可得DE+CP=CD，从而可求t；②当∠PQC=90°时，如备用图1，容易证出Rt△PEQ∽Rt△QMA，再利用比例线段，结合EQ=EM﹣QM=4﹣2t，可求t；（3） 为定值．当t＞2时，如备用图2，先证明四边形AMQP为矩形，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得△CRQ∽△CAB，再利用比例线段可求 ．
【考点精析】关于本题考查的相似三角形的应用，需要了解测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解才能得出正确答案．