【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且AC平分∠BAD．

（1）求证：直线MN是⊙O的切线；

（2）若CD=4，AC=5，求⊙O的直径．

参考答案：

【答案】（1）证明见试题解析；（2）

【解析】试题分析：（1）直接利用角平分线的性质结合等腰三角形的性质得出OC⊥MN，进而得出答案；

（2）利用相似三角形的判定与性质得出AB的长．

试题解析：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAD，∴∠CAB=∠DAC，

∴∠OCA=∠DAC，∴OC∥AD．∵AD⊥MN，∴OC⊥MN．

∵OC为半径，∴MN是⊙O切线．

（2）∵∠ADC=90°，AC=5，DC=4，∴AD=3，∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB，又∵∠CAB=∠DAC，

∴△ADC∽△ACB，∴=，∴=，解得：AB=，

即⊙O的直径长为．

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