Question

【题目】综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．

(1)求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标；

(2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) y＝x2－3x－8；（2）点F的坐标为(3＋，－4)或(3－，－4)．

【解析】试题分析：（1）把A、D坐标代入抛物线可求得抛物线的函数表达式，则抛物线的对称性可求得B点坐标，由D点坐标可求得直线OD的解析式，则可求得E点坐标；
（2）结合（1）可知OE=CE，由全等三角形的性质可知OF=CF，可知点F在线段OC的垂直平分线上，则可求得F点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得F点的坐标．

试题解析：

（1）∵抛物线y=ax2+bx-8经过点A（-2，0），D（6，-8），

∴

解得

∴抛物线的函数表达式为y＝x23x8；
∵y＝x23x8＝ (x3)2 ，
∴抛物线的对称轴为直线x=3．
又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（-2，0）．
∴点B的坐标为（8，0），
设直线L的函数表达式为y=kx．
∵点D（6，-8）在直线L上，
∴6k=-8，解得k=- ，
∴直线L的函数表达式为y=-x，
∵点E为直线L和抛物线对称轴的交点，
∴点E的横坐标为3，纵坐标为-×3=-4，
∴点E的坐标为（3，-4）；

（2）抛物线上存在点F，使△FOE≌△FCE．
∵OE=CE=5，
∴FO=FC，
∴点F在OC的垂直平分线上，此时点F的纵坐标为-4，
∴x2-3x-8=-4，解得x=3± ，
∴点F的坐标为（3-，-4）或（3+，-4）．