Question

【题目】如图1，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F．

（1）求证：DE=AF；

（2）若AB=4，BG=3，求AF的长；

（3）如图2，连接DF、CE，判断线段DF与CE的位置关系并证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2） （3）DF⊥CE

【解析】

（1）先判断出∠AED=∠BFA=90°，再判断出∠BAF=∠ADE，进而利用“角角边”证明△AFB和△DEA全等，即可得出结论；

（2）先求出AG，再判断出△ABF∽△AGB，得出比例式即可得出结论；

（3）先判断出AD=CD，然后利用“边角边”证明△FAD和△EDC全等，得出∠ADF=∠DCE，即可得出结论．

（1）∵DE⊥AG，BF∥DE，

∴BF⊥AG，

∴∠AED=∠BFA=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD且∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠BAF+∠EAD=90°，

∵∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠BAF=∠ADE，

在△AFB和△DEA中，

，

∴△AFB≌△DEA（AAS），

∴AF=DE；

（2）在Rt△ABG中，AB=4，BG=3，根据勾股定理得，AG=5，

∵BF⊥AG，

∴∠AFB=∠ABG=90°，

∵∠BAF=∠GAB，

∴△ABF∽△AGB，

∴，

即，

∴AF=；

（3）DF⊥CE，理由如下：

∵∠FAD+∠ADE=90°，∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°，

∴∠FAD=∠EDC，

∵△AFB≌△DEA，

∴AF=DE，

又∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD，

在△FAD和△EDC中，

，

∴△FAD≌△EDC（SAS），

∴∠ADF=∠DCE，

∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，

∴∠DCE+∠CDF=90°，

∴DF⊥CE．