Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（ ，1）在反比例函数y= 的图象上．

（1）求反比例函数y= 的表达式；
（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP= S△AOB ， 求点P的坐标；
（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点A（ ，1）在反比例函数y= 的图象上，

∴k= ×1= ，

∴反比例函数表达式为y=

（2）

解：∵A（ ，1），AB⊥x轴于点C，

∴OC= ，AC=1，

∵OA⊥OB，OC⊥AB，

∴∠A=∠COB，

∴tan∠A= =tan∠COB= ，

∴OC2=ACBC，即BC=3，

∴AB=4，

∴S△AOB= × ×4=2 ，

∴S△AOP= S△AOB= ，

设点P的坐标为（m，0），

∴ ×|m|×1= ，解得|m|=2 ，

∵P是x轴的负半轴上的点，

∴m=﹣2 ，

∴点P的坐标为（﹣2 ，0）

（3）

解：由（2）可知tan∠COB= = = ，

∴∠COB=60°，

∴∠ABO=30°，

∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，

∴∠OBD=60°，

∴∠ABD=90°，

∴BD//x轴，

在Rt△AOB中，AB=4，∠ABO=30°，

∴AO=DE=2，OB=DB=2 ，且BC=3，OC= ，

∴OD=DB﹣OC= ，BC﹣DE=1，

∴E（﹣ ，﹣1），

∵﹣ ×（﹣1）= ，

∴点E在该反比例函数图象上

【解析】（1）由点A的坐标，利用待定系数法可求得反比例函数表达式；（2）由条件可求得∠A=∠COB，利用三角函数的定义可得到OC2=ACBC，可求得BC的长，可求得△AOB的面积，设P点坐标为（m，0），由题意可得到关于m的方程，可求得m的值；（3）由条件可求得∠ABD=90°，则BD//x轴，由BD、DE的长，可求得E点坐标，代入反比例函数解析式进行判断即可．
【考点精析】本题主要考查了图形的旋转的相关知识点，需要掌握每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．旋转的方向、角度、旋转中心是它的三要素才能正确解答此题．