Question

【题目】如图，在直角坐标系中点A（2，0），点P在射线 （x＜0）上运动，设点P的横坐标为a，以AP为直径作⊙C，连接OP、PB，过点P作PQ⊥OP交⊙C于点Q．

（1）证明：∠AOP=∠BPQ；
（2）当点P在运动的过程中，线段PQ的长度是否发生变化，若变化，请用含a的代数式表示PQ的长；若不变，求出PQ的长；
（3）当tan∠APO= 时，①求点Q坐标；②点D是圆上任意一点，求QD+ OD的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得点P（a，－ a），∵AP为直径，∴∠PBA=90°，∴tan∠BOP= ，∴∠BPO=30°，∠POB=60°，∵PQ⊥OP，∴∠BPQ=∠AOP=120°
（2）解：不变．如图1，连结BQ，

∵∠Q=∠PAO，∠BPQ=∠AOP，

∴△BPQ∽△POA．

∴ ，

∴PQ=

（3）解：①如图2，连结AQ，过点Q作QH⊥BP

∵AP是直径，

∴∠PQA=90°．

∵∠OPQ=90°，

∴OP∥AQ．

∴∠OPA=∠PAQ，

∵tan∠OPA= ，

∴ ，

∵PQ= ，

∴AQ=5，AP=2 ，在RT△ABP中，AB=2－a，BP=－ a，由（2-a）2+（ a）2=（2 ）2，解得a1=－2，a2=3（舍去），

∴P（－2，2 ），∠BPQ=120°，

∴∠HPQ=60°，

∴PH= ，HQ= ，

∴点Q（- ， ）；

②如图3，

由①得CD= ，

∵P（－2，2 ）,A（2，0），

∴C（0， ） ,OC= ，在y轴上找点E使CE= ，

∴E（0，- ），

∴CD2=CO·CE，

∵∠DCO=∠ECD，

∴△DCO∽△ECD，

∴DE= OD，

∵QD+DE≥QE，

∴QD+ OD的最小值为

【解析】（1）首先表示出P点的坐标，根据直径所对的圆周角是直角得出∠PBA=90°，根据正切三角函数的定义及特殊锐角三角函数值得出∠POB=60°，根据三角形的内角和得出∠BPO=30°，再根据垂直的定义得出∠BPQ=∠AOP=120°；
（2）不变．如图1，连结BQ，根据同弧所对的圆周角相等得出∠Q=∠PAO，又由（1）知∠BPQ=∠AOP，从而判断出△BPQ∽△POA，根据相似三角形对应边成比例得出答案；
（3）①如图2，连结AQ，过点Q作QH⊥BP，根据直径所对的圆周角是直角得出∠PQA=90°，然后根据同旁内角互补两直线平行得出OP∥AQ，根据平行线的性质得出∠OPA=∠PAQ，然后根据正切三角函数的定义打得出=，从而得出AQ,AP的长，在Rt△ABP中,根据勾股定理得出关于a的方程，求出a的值，从而得出p点的坐标，进一步得出Q点的坐标；②如图3，由①得CD= ，由P,A两点的坐标得出C点的坐标及OC的长，在y轴上找点E使CE= ，进而得出E点坐标，从而得出CD2=CO·CE，然后判断出△DCO∽△ECD，根据相似三角形的性质得出DE= OD，又因QD+DE≥QE，从而得出答案。
【考点精析】认真审题，首先需要了解平行线的判定与性质(由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质)，还要掌握圆周角定理(顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)的相关知识才是答题的关键．