Question

【题目】（13分）如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MP⊥AB交边CD于点P，连接NM，NP．

（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP= 度；

（2）求证：NM=NP；

（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．

Answer 1

【答案】（1）30；（2）证明见试题解析；（3）108°或90°．

【解析】

试题（1）由直角三角形的中线等于斜边上的一半，即可得出结论；

（2）延长MN交DC的延长线于点E，由四边形ABCD是菱形，得出AB∥DC，从而有∠BMN=∠E，由点N是线段BC的中点，得出BN=CN，得出△MNB≌△ENC，从而有MN=EN，即点N是线段ME的中点，由MP⊥AB交边CD于点P，得出MP⊥DE，从而有∠MPE=90°，即可得出结论；

（3）NC和PN不可能相等，所以只需分①PN=PC，②PC=NC两种情况进行讨论即可．

试题解析：（1）∵MP⊥AB交边CD于点P，∠B=60°，点P与点C重合，∴∠NPM=30°，∠BMP=90°，∵N是BC的中点，∴MN=PN，∴∠NMP=∠NPM=30°；

（2）如图1，延长MN交DC的延长线于点E，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∴∠BMN=∠E，∵点N是线段BC的中点，∴BN=CN，在△MNB和△ENC中，∵∠BMN=∠E，∠MNB=∠ENC，BN=CN，∴△MNB≌△ENC，∴MN=EN，即点N是线段ME的中点，∵MP⊥AB交边CD于点P，∴MP⊥DE，∴∠MPE=90°，∴PN=MN=ME；

（3）如图2，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，又M，N分别是边AB，BC的中点，∴MB=NB，∴∠BMN=∠BNM，由（2）知：△MNB≌△ENC，∴∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE，又∵PN=MN=NE，∴∠NPE=∠E，设∠BMN=∠BNM=∠E=∠NCE=∠NPE=x°，则∠NCP=2x°，∠NPC=x°，

①若PN=PC，则∠PNC=∠NCP=2x°，在△PNC中，2x+2x+x=180，解得：x=36，∴∠B=∠PNC+∠NPC=2x°+x°=36°×3=108°；

②若PC=NC，则∠PNC=∠NPC=x°，在△PNC中，2x+x+x=180，解得：x=45，∴∠B=∠PNC+∠NPC=x°+x°=45°+45°=90°；

综上所述：∠B=108°或90°．