Question

【题目】阅读下列材料：

已知：如图1，等边△A1A2A3内接于⊙O，点P是上的任意一点，连接PA1，PA2，PA3，可证：PA1+PA2=PA3，从而得到：是定值．

（1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整；

证明：如图1，作∠PA1M=60°，A1M交A2P的延长线于点M．

∵△A1A2A3是等边三角形，

∴∠A3A1A2=60°，

∴∠A3A1P=∠A2A1M

又A3A1=A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P，

∴△A1A3P≌△A1A2M

∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1．

∴，是定值．

（2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正方形A1A2A3A4”，其余条件不变，请问：还是定值吗？为什么？

（3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正五边形A1A2A3A4A5”，其余条件不变，则= 　（只写出结果）．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）是定值，理由见解析；（3）

【解析】（2）结论：是定值．在A4P上截取AH=A2P，连接HA1．证明PA4=A4+PH=PA2+PA1，同法可证：PA3=PA1+PA2，推出（+1）（PA1+PA2）=PA3+PA4，可得PA1+PA2=（-1）（PA3+PA4），即可解决问题；

（3）结论：则．如图3-1中，延长PA1到H，使得A1H=PA2，连接A4H，A4A2，A4A1．由△HA4A1≌△PA4A2，可得△A4HP是顶角为36°的等腰三角形，推出PH=PA4，即PA1+PA2=PA4，如图3-2中，延长PA5到H，使得A5H=PA3．同法可证：△A4HP是顶角为108°的等腰三角形，推出PH=PA4，即PA5+PA3=PA4，即可解决问题；

（1）如图1，作∠PA1M=60°，A1M交A2P的延长线于点M．

∵△A1A2A3是等边三角形，

∴∠A3A1A2=60°，

∴∠A3A1P=∠A2A1M

又A3A1=A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P，

∴△A1A3P≌△A1A2M

∴PA3=MA2，

∵PM=PA1，

∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1．

∴，是定值．

（2）结论：是定值．

理由：在A4P上截取AH=A2P，连接HA1．

∵四边形A1A2A3A4是正方形，

∴A4A1=A2A1，

∵∠A1A4H=∠A1A2P，A4H=A2P，

∴△A1A4H=△A1A2P，

∴A1H=PA1，∠A4A1H=∠A2A1P，

∴∠HA1P=∠A4A1A2=90°

∴△HA1P的等腰直角三角形，

∴PA4=HA4+PH=PA2+PA1，

同法可证：PA3=PA1+PA2，

∴（+1）（PA1+PA2）=PA3+PA4，

∴PA1+PA2=（-1）（PA3+PA4），

∴．

（3）结论：则．

理由：如图3-1中，延长PA1到H，使得A1H=PA2，连接A4H，A4A2，A4A1．

由△HA4A1≌△PA4A2，可得△A4HP是顶角为36°的等腰三角形，

∴PH=PA4，即PA1+PA2=PA4，

如图3-2中，延长PA5到H，使得A5H=PA3．

同法可证：△A4HP是顶角为108°的等腰三角形，

∴PH=PA4，即PA5+PA3=PA4，

∴．