【题目】问题探究：在边长为的正方形中，对角线、交于点．

探究：如图，若点是对角线上任意一点，则线段的长的取值范围是__________；

探究：如图，若点是内任意一点，点、分别是边和对角线上的两个动点，则当 的值在探究中的取值范围内变化时， 的周长是否存在最小值？如果存在，请求出周长的最小值，若不存在，请说明理由；

问题解决：如图，在边长为的正方形中，点是内任意一点，且，点、分别是边和对角线上的两个动点，则当的周长取到最小值时，求四边形面积的最大值．

参考答案：

【答案】（）；（）存在，2；（3）.

【解析】试题分析：(1)当P与O重合时，PA的值最小，最小值为 ；当P与B或D重合时，PA的值最大，最大值为4，即可得线段的长的取值范围；(2)存在.如图2中，作点P关于AB、AC的对称点E、F，连接EF交AB于M,交AC于N，连接AE、AF、PA.由PM+MN+PN=EM+NM+NF=EF ，推出点P位置确定时，此时△PMN的周长最小，最小值为线段EF的长，由∠PAM=∠EAM，∠PAN=∠FAN，∠BAC=45°，推出∠EAF=2∠BAC=90°，由PA=PE=PF，推出△EAF 是等腰直角三角形,由PA的最小值为，可得线段EF的最小值为2，由此即可解决问题；(3)如图3中，在图2的基础上,以A为圆心AB为半径作⊙A ,PA交EF于点O.由△MAP≌△MAE, △NAP≌△NAF，推出，由此可以知道△AMN 的面积最小时,四边形AMPN的面积最大.

试题解析：

（1）图1中,

∵四边形ABCD是正方形,边长为4,

∴AC⊥BD,AC=BD=4

当P与O重合时，PA的值最小，最小值为2,

当P与B或D重合时,PA的值最大,最大值为4,

∴；

(2)存在.

理由：如图2中，作点P关于AB、AC的对称点E、F，连接EF交AB于M，交AC于N，连接AE、AF、PA.

∵PM+MN+PN=EM+NM+NF=EF，

∴点P位置确定时，此时的周长最小，最小值为线段EF的长，

∵∠PAM=∠EAM，∠PAN=∠FAN，∠BAC=45°，

∴∠EAF=2∠BAC=90°，

∵PA=PE=PF,

∴△EAF是等腰直角三角形,

∵PA的最小值为,

∴线段EF的最小值为2,

∴△PMN的周长的最小值为2.

(3)如图3中，在图2的基础上，以A为圆心AB为半径作⊙A，PA交EF于点O.

根据题意点P在上⊙A，

∵△MAP≌△MAE, △NAP≌△NAF，

∴

∵PA=AE=AF=4,

∴=8.

∴△AMN的面积最小时，四边形AMPN的面积最大，

易知当PA⊥MN时, △AMN 的面积最小，此时OA=，OM=ON=OP=4-,

∴MN=8-4 ,

∴,

∴四边形AMPN的面积的最大值=.

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