Question

【题目】某公司计划购买A、B两种计算器共100个，要求A种计算器数量不低于B种的，且不高于B种的.已知买1个A种计算器和1个B种计算器共需250元，买2个A种计算器和3个B种计算器的费用相等。

（1）求两种计算器的单价。

（2）求如何购买可使总费用最低。

（3）由于市场行情波动，实际购买时，A种计算器单价下调m元（m>0），同时B种计算器单价上调了m元，此时购买这两种计算器所需最少费用为12200元，求m的值。

Answer 1

【答案】（1）A种计算器的单价为150元，B种计算器的单价为100元；（2）买A种计算器20件，B种计算器80件时，总费用最低；（3）m=20.

【解析】

（1）设A种计算器的单价为x元，B种计算器的单价为y元，根据“买1个A种计算器和1个B种计算器共需250元，买2个A种计算器和3个B种计算器的费用相等”列出二元一次方程组，求解即可；

（2）设买A种计算器a件，首先列出总费用w的一次函数关系式，求出a的取值范围，根据一次函数的性质求解即可；

（3）设买A种计算器b件，则买B种计算器（100-b）件，由（2）可知20≤b≤25，然后分类讨论当m在不同的取值范围内，根据最少费用为12200元分别求出m，舍去不合题意的值即可

解：（1）设A种计算器的单价为x元，B种计算器的单价为y元，

由题意得： ，

解得：，

答：A种计算器的单价为150元，B种计算器的单价为100元；

（2）设买A种计算器a件，

则买B种计算器（100-a）件，总费用w=150a+100×(100-a)=50a+10000，

由题意得：(100-a)≤a≤(100-a)，

解得：20≤a≤25，

∵一次函数w=50a+10000中50＞0，

∴w随a的增大而增大，当a=20，时，总费用最低，此时100-20=80（件），

即买A种计算器20件，B种计算器80件时，总费用最低；

（3）设买A种计算器b件，则买B种计算器（100-b）件

由（2）可知20≤b≤25，此时总费用w=(150-m)b+(100+m)(100-b)，

当A，B两种计算器价格相等时，即150-m=100+m，可得m=25，

分情况讨论：

①当m＜25时，A计算器价格较贵，

∴b=20时总费用w有最小值，

∴w=(150-m)×20+(100+m)(100-20)=12200，解得：m=20，

②当m=25时，A，B计算器价格一样，

∴总费用w=125×100=12500（不合题意，舍去），

③当m＞25时，A计算器价格较便宜，

∴b=25时总费用w有最小值，

∴w=(150-m)×25+(100+m)(100-25)=12200，解得：m=19（不合题意，舍去），

综上所述，m=20.