Question

【题目】如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D在边AB的延长线上，BD=3，过点D作DE⊥AB，与边AC的延长线相交于点E，以DE为直径作⊙O交AE于点F．
（1）求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离；
（2）连接CD，交⊙O于点G（如图2）．求证：点G是CD的中点．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，由勾股定理得：AC=4，

∵AB=5，BD=3，

∴AD=8，

∵∠ACB=90°，DE⊥AD，

∴∠ACB=∠ADE，

∵∠A=∠A，

∴△ACB∽△ADE，

∴ =

∴ = =

∴DE=6，AE=10，

即⊙O的半径为3；

过O作OQ⊥EF于Q，

则∠EQO=∠ADE=90°，

∵∠QEO=∠AED，

∴△EQO∽△EDA，

∴ = ，

∴ = ，

∴OQ=2.4，

即圆心O到弦EF的距离是2.4；

（2）解：连接EG，

∵AE=10，AC=4，

∴CE=6，

∴CE=DE=6，

∵DE为直径，

∴∠EGD=90°，

∴EG⊥CD，

∴点G为CD的中点．

【解析】（1）根据勾股定理求出AC，证△ACB∽△ADE，得出 = ，代入求出DE=6，AE=10，过O作OQ⊥EF于Q，证△EQO∽△EDA，代入求出OQ即可；（2）连接EG，求出EG⊥CD，求出CE=ED，根据等腰三角形的性质求出即可．