Question

【题目】已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系式 ；

（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．

Answer 1

【答案】（1）AE∥BF，QE=QF；（2）QE=QF，证明见试题解析；（3）成立，证明见试题解析．

【解析】试题分析：(1)、证△BFQ≌△AEQ即可；(2)、证△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可；(3)、证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．

试题解析：(1)、AE∥BF，QE=QF， 理由是：如图1，∵Q为AB中点， ∴AQ=BQ，

∵BF⊥CP，AE⊥CP， ∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ=90°， 在△BFQ和△AEQ中

∴△BFQ≌△AEQ（AAS）， ∴QE=QF，

(2)、QE=QF， 如图2，延长FQ交AE于D， ∵Q为AB中点， ∴AQ=BQ，

∵BF⊥CP，AE⊥CP， ∴BF∥AE， ∴∠QAD=∠FBQ， 在△FBQ和△DAQ中

∴△FBQ≌△DAQ（ASA）， ∴QF=QD， ∵AE⊥CP，

∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线， ∴QE=QF=QD， 即QE=QF．

(3)、(2)中的结论仍然成立， 如图3， 延长EQ、FB交于D， ∵Q为AB中点，

∴AQ=BQ， ∵BF⊥CP，AE⊥CP， ∴BF∥AE， ∴∠1=∠D， 在△AQE和△BQD中，

， ∴△AQE≌△BQD（AAS）， ∴QE=QD， ∵BF⊥CP，

∴FQ是斜边DE上的中线， ∴QE=QF．