Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，ADBC，E是AB 的中点，连接DE并延长交CB 的延长线于点F，点G在BC边上，且GDF ADF .

（1）求证：ADE ≌ BFE ；

（2）连接EG ，判断EG 与DF 的位置关系，并说明理由；

（3）若CDF 90，DF 4，CD 3 ， CF 5 ，求RtCDF的三条角平分线的交点O 到边CF的距离.

Answer 1

【答案】(1)详见解析；（2）详见解析；（3）1.

【解析】

（1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；
（2）∠GDF=∠ADE，以及（1）得出的∠ADE=∠BFE，等量代换得到∠GDF=∠BFE，利用等角对等边得到GF=GD，即三角形GDF为等腰三角形，再由（1）得到DE=FE，即GE为底边上的中线，利用三线合一即可得到GE与DF垂直．
（3）根据直角三角形的内切圆的半径解答即可．

（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE，
∵E为AB的中点，∴AE=BE，
在△ADE和△BFE中，

，
∴△ADE≌△BFE（AAS）；

（2）EG与DF的位置关系是EG垂直平分DF，
理由为：连接EG，
∵∠GDF=∠ADE，∠ADE=∠BFE，
∴∠GDF=∠BFE，
由（1）△ADE≌△BFE得：DE=FE，即GE为DF上的中线，
∴GE垂直平分DF．
（3）∵Rt△CDF的三条角平分线的交点O到边CF的距离即是△CDF的内切圆的半径，
∵∠CDF=90°，DF=4，CD=3，CF=5，
设△CDF的内切圆半径为r，
∵在Rt△CDF中，∠CDF=90°，DF=4，CD=3，CF=5，
∴S△CDF=DCDF=r（DF+DC+CF），
∴r==

=1．
即Rt△CDF的三条角平分线的交点O到边CF的距离是1．