Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，延长BP至点D，使得AD=AP，当AD⊥AB时，过D作DE⊥AC于E，AB－BC=4，AC=8，则△ABP面积为____.

Answer 1

【答案】15

【解析】

设AB的长为x，则BC可用x表示，用勾股定理建立方程即可解出x；要求△ABP的面积，只需求出AB边上的高即可，易知BP是角平分线，所以作PF垂直AB于点F，可得BF=BC，PF=PC，从而AF=4，设PF=y，则AP=8-y，再用勾股定理解出y即可求出结论.

设AB=x，

∵AB-BC=4，

∴BC=x-4，

∵AC=8，

∴在Rt△ABC中，（x-4）2+64=x2，

解得：x=10，

即AB=10，

∴BC=6，

∵∠C=90°，

∴∠CBP+∠BPC=90°，

∵DA⊥BA，

∴∠PBA+∠BDA=90°，

∵AD=AP，

∴∠BDA=∠DPA=∠BPC，

∠CBP=∠ABP；

过点P作PF⊥BA于点F，如图，

在△BCP和△BFP中：

，

∴△BCP≌△BFP，

∴BF=BC=6，PF=PC，

∴AF=4，

设PF=PC=y，

在Rt△PAF中，16+y2=（8-y）2，

解得：y═3，

即PF=3，

∴S△ABP＝×AB×PF=×10×3=15.