Question

【题目】如图，抛物线L：y=ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x=1．

（1）求抛物线L的解析式；
（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求h的取值范围；
（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线的对称轴x=1，B（3，0），

∴A（﹣1，0）

∵抛物线y=ax2+bx+c过点C（0，3）

∴当x=0时，c=3．

又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）

∴ ，

∴

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3

（2）

解：∵C（0，3），B（3，0），

∴直线BC解析式为y=﹣x+3，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点坐标为（1，4）

∵对于直线BC：y=﹣x+1，当x=1时，y=2；将抛物线L向下平移h个单位长度，

∴当h=2时，抛物线顶点落在BC上；

当h=4时，抛物线顶点落在OB上，

∴将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），

则2≤h≤4

（3）

解：设P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n），

①当P点在x轴上方时，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，如图所示：

∵B（3，0），

∵△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，

∴∠BPQ=90°，BP=PQ，

则∠PMQ=∠BNP=90°，∠MPQ=∠NBP，

在△PQM和△BPN中， ，

∴△PQM≌△BPN（AAS），

∴PM=BN，

∵PM=BN=﹣m2+2m+3，根据B点坐标可得PN=3﹣m，且PM+PN=6，

∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6，

解得：m=1或m=0，

∴P（1，4）或P（0，3）．

②当P点在x轴下方时，过P点作PM垂直于l于M点，过B点作BN垂直于MP的延长线与N点，

同理可得△PQM≌△BPN，

∴PM=BN，

∴PM=6﹣（3﹣m）=3+m，BN=m2﹣2m﹣3，

则3+m=m2﹣2m﹣3，

解得m= 或 ．

∴P（ ， ）或（ ， ）．

综上可得，符合条件的点P的坐标是（1，4），（0，3），（ ， ）和（ ， ）．

【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）先求出直线BC解析式为y=﹣x+3，再求出抛物线顶点坐标，得出当x=1时，y=2；结合抛物线顶点坐即可得出结果；（3）设P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n），由勾股定理得出PB2=（m﹣3）2+（﹣m2+2m+3）2 ， PQ2=（m+3）2+（﹣m2+2m+3﹣n）2 ， BQ2=n2+36，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，由AAS证明△PQM≌△BPN，得出MQ=NP，PM=BN，则MQ=﹣m2+2m+3﹣n，PN=3﹣m，得出方程﹣m2+2m+3﹣n=3﹣m，解方程即可．本题是二次函数综合题目，考查了用待定系数法求出抛物线的解析式、抛物线的顶点式、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．
【考点精析】本题主要考查了等腰直角三角形的相关知识点，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°才能正确解答此题．