Question

【题目】在线段AB的同侧作射线AM和BN，若∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，AE和BF交于点P．如图，点点同学发现当射线AM，BN交于点C；且∠ACB=60°时，有以下两个结论：
①∠APB=120°；②AF+BE=AB．
那么，当AM∥BN时：

（1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出∠APB的度数，写出AF，BE，AB长度之间的等量关系，并给予证明；
（2）设点Q为线段AE上一点，QB=5，若AF+BE=16，四边形ABEF的面积为32 ，求AQ的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：解：点点的结论：①∵∠ACB=60°，

∴∠BAC+∠ABC=120°，

∵∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，

∴∠PAB+∠PBA= （∠PAB+∠PBA）=60°，

∴∠APB=120°，

②如图，在AB上取一点G，使AG=AF，

∵AE是∠BAM的角平分线，

∴∠PAG=∠PAF，

在△PAG和△PAF中， ，

∴△PAG≌△PAF（SAS），

∴∠AFP=∠AGP，

∵∠EPF=∠APB=120°，∠ACB=60°，

∴∠EPF+∠ACB=180°，

∴∠PFC+∠PEC=180°，

∵∠PFC+∠AFP=180°，

∴∠PEC=∠AFP，

∴∠PEC=∠AGP，

∵∠AGP+∠BGP=180°，

∴∠PEC+∠BGP=180°，

∵∠PEC+∠PEB=180°，

∴∠BGP=∠BEP，

∵BF是∠ABC的角平分线，

∴∠PBG=∠PBE，

在△BPG和△BPE中， ，

∴△BPG≌△BPE（AAS），

∴BG=BE，

∴AF+BE=AB．

原命题不成立，新结论为：∠APB=90°，AF+BE=2AB（或AF=BE=AB），

理由：∵AM∥BN，

∴∠MAB+∠NBA=180°，

∵AE，BF分别平分∠MAB，NBA，

∴∠EAB= ∠MAB，∠FBA= ∠NBA，

∴∠EAB+∠FBA= （∠MAB+∠NBA）=90°，

∴∠APB=90°，

∵AE平分∠MAB，

∴∠MAE=∠BAE，

∵AM∥BN，

∴∠MAE=∠BAE，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=BE，

同理：AF=AB，

∴AF+BE=2AB（或AF=BE=AB）

（2）

解：如图1，

过点F作FG⊥AB于G，

∵AF=BE，AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AF+BE=16，

∴AB=AF=BE=8，

∵32 =8×FG，

∴FG=4 ，

在Rt△FAG中，AF=8，

∴∠FAG=60°，

当点G在线段AB上时，∠FAB=60°，

当点G在线段BA延长线时，∠FAB=120°，

①如图2，

当∠FAB=60°时，∠PAB=30°，

∴PB=4，PA=4 ，

∵BQ=5，∠BPA=90°，

∴PQ=3，

∴AQ=4 ﹣3或AQ=4 +3．

②如图3，

当∠FAB=120°时，∠PAB=60°，∠FBG=30°，

∴PB=4 ，

∵PB=4 ＞5，

∴线段AE上不存在符合条件的点Q，

∴当∠FAB=60°时，AQ=4 ﹣3或4 +3．

【解析】点点的两个结论：①利用三角形的角平分线和三角形的内角和即可得出结论；②先判断出△PAG≌△PAF（SAS）得出∠AFP=∠AGP，结合同角的补角相等即可得出∠BGP=∠BEP，进而判断出△BPG≌△BPE（AAS），即可得出结论；（1）由角平分线和平行线整体求出∠MAB+∠NBA，从而得到∠APB=90°，最后用等边对等角，即可．（2）先根据条件求出AF，FG，求出∠FAG=60°，最后分两种情况讨论计算．