Question

【题目】等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E；

（1）如图（1），若A（0，1），B（2，0），求C点的坐标；

（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE

（3）如图（3），在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，若满足BD始终是∠ABC的平分线，试探究：线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（﹣1，﹣1）；（2）见解析；（3）BD=2（OA+OD）．

【解析】

试题分析：（1）过点C作CF⊥y轴于点F通过证△ACF≌△ABO得CF=OA=1，AF=OB=2，求得OF的值，就可以求出C的坐标；

（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G，先证明△ACG≌△ABD就可以得出CG=AD=CD，∠DCE=∠GCE=45°，再证明△DCE≌△GCE就可以得出结论；

（3）在OB上截取OH=OD，连接AH，由对称性得AD=AH，∠ADH=∠AHD，可证∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO，再证明△ACE≌△BAH就可以得出结论．

（1）解：过点C作CF⊥y轴于点F，

∴∠AFC=90°，

∴∠CAF+∠ACF=90°．

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，

∴AC=AB，∠CAF+∠BAO=90°，∠AFC=∠BAC，

∴∠ACF=∠BAO．

在△ACF和△ABO中，

，

∴△ACF≌△ABO（AAS）

∴CF=OA=1，AF=OB=2

∴OF=1

∴C（﹣1，﹣1）；

（2）证明：过点C作CG⊥AC交y轴于点G，

∴∠ACG=∠BAC=90°，

∴∠AGC+∠GAC=90°．

∵∠CAG+∠BAO=90°，

∴∠AGC=∠BAO．

∵∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAO=90°，

∴∠ADO=∠BAO，

∴∠AGC=∠ADO．

在△ACG和△ABD中

∴△ACG≌△ABD（AAS），

∴CG=AD=CD．

∵∠ACB=∠ABC=45°，

∴∠DCE=∠GCE=45°，

在△DCE和△GCE中，

，

∴△DCE≌△GCE（SAS），

∴∠CDE=∠G，

∴∠ADB=∠CDE；

（3）解：在OB上截取OH=OD，连接AH

由对称性得AD=AH，∠ADH=∠AHD．

∵∠ADH=∠BAO．

∴∠BAO=∠AHD．

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABO=∠EBO，

∵∠AOB=∠EOB=90°．

在△AOB和△EOB中，

，

∴△AOB≌△EOB（ASA），

∴AB=EB，AO=EO，

∴∠BAO=∠BEO，

∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO．

∴∠AEC=∠BHA．

在△AEC和△BHA中，

，

∴△ACE≌△BAH（AAS）

∴AE=BH=2OA

∵DH=2OD

∴BD=2（OA+OD）．