Question

【题目】如图，线段AC、BD交于点M，过B、D两点分别作AC的垂线段BF、DE，AB=CD.

（1）若∠A=∠C，求证FM=EM；

（2）若FM=EM，则∠A=∠C.是真命题吗？（直接判断，不必证明）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）真命题，理由见解析．

【解析】试题分析：（1）由条件可先证明△ABF≌△CDE，可得BF=DE，再证明△BFM≌△DEM，可得到FM=EM；

（2）由条件可先证明△BFM≌△DEM，可得BF=DE，再证明△ABF≌△CDE，可得∠A=∠C．

试题解析：（1）∵BF⊥AC，DE⊥AC，

∴∠AFB=∠CED，

在△ABF和△CDE中， ，

∴△ABF≌△CDE（AAS），

∴BF=DE，

在△BFM和△DEM中， ，

∴△BFM≌△DEM（AAS），

∴FM=EM；

（2）真命题；理由如下：

∵BF⊥AC，DE⊥AC，

∴∠BFM=∠DEM=90°，

在△BFM和△DEM中， ，

∴△BFM≌△DEM（ASA），

∴BF=DE，

在Rt△ABF和Rt△CDE中，

∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），

∴∠A=∠C．