Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式为___________．

Answer 1

【答案】或

【解析】由直线y=kx与线段OA的夹角是45°可知，本题有两种情况：一种是直线y=kx在线段OA的上方（即直线y=kx的图象经过第一、三象限）；另一种是直线y=kx在线段OA的下方（直线y=kx的图象经过第二、四象限）.再通过以直线y=kx与OA构造等腰直角三角形即可进行求解.

解：有两种情况：

①当直线y=kx在线段OA的上方时（即直线y=kx的图象经过第一、三象限）,

如图所示，过点A作AB⊥OA，交直线y=kx于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC，垂足为D.

∵AB⊥OA

∴∠OAB=90°

∵∠BOA=45°

∴△OAB等腰直角三角形

∴OA=OB

∵∠OAC+∠BAD =90°, ∠OAC+∠AOC =90°

∴∠BAD=∠AOC

又∵∠D=∠ACO =90°

∴△OCA≌△BAD

∴AD＝OC，BD＝AC

∵A（2，1），

∴OC＝2，AC＝1

∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1

∴D点坐标为（2，3） ∴B点坐标为（1，3）

∴此时正比例函数表达式为：y＝3x

②当直线y=kx在线段OA的下方时（即直线y=kx的图象经过第二、四象限）：

过点A作AB⊥OA，交直线y=kx于点B，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BD⊥AC .

则由①可知：

∴△OCA≌△BAD

∴AD＝OC，BD＝AC

∵A（2，1），

∴OC＝1，AC＝2

∴AD＝OC＝1，BD＝AC＝2

∴D点坐标为（3，1）

∴B点坐标为（3，﹣1）

∴此时正比例函数表达式为：y＝x

∴正比例函数表达式为：或