Question

【题目】已知：AB、CD为⊙O的直径，弦BE交CD于点F，连接DE交AB于点G，GO=GD．
（1）如图1，求证：DE=DF；

（2）如图2，作弦AK∥DC，AK交BE于点N，连接CK，求证：四边形KNFC为平行四边形；
（3）如图3，作弦CH，连接DH，∠CDH=3∠EDH，CH=2 ，BE=4 ，求DH的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1中，连接BC．

∵OB=OC，

∴∠C=∠OBC=∠E，

∵GO=GD，

∴∠D=∠GOD=∠EBC=∠BOC，

∵∠OBC=∠EBC+∠EBA，∠EFD=∠BOC+∠EBA，

∵∠EBC=∠BOC，

∴∠OBC=∠EFD=∠E，

∴DE=DF．

（2）证明：如图2中，连接AD、DK、BC．

∵AK∥CD，

∴∠AKD=∠KDC，

∴ = ，

∴ = ，

∴∠ADC=∠KCD，

∵∠ADO=∠OBC=∠OCB=∠E=∠EFD，

∴∠KCD=∠EFD，

∴KC∥FN，∵KN∥FC，

∴四边形KNFC是平行四边形．

（3）解：如图3中，作ON⊥BE于N，HK⊥CD于K，连接EO．

∵ON⊥EB，

∴EN=BN=2 ，

∵∠CDH=3∠EDH，

设∠EDH=x，则∠CDH=3x，∠OHD=∠ODH=3x，∠HOC=∠D+∠OHD=6x，∠GOD=∠GDO=∠BOC=4x，∠HOB=∠HOC+∠BOC=10x，∠EOC=∠ODE+∠OED=8x，∠EOB=∠EOC+∠BOC=12x，

∵∠BON=∠EON=6x，

∴∠HOK=∠BON=6x，

在△OHK和△OBN中，

，

∴△OHK≌△OBN，

∴HK=BN=2 ，

在Rt△CHK中，CK= = =4，

∵CD是直径，

∴∠CHD=∠CKH=90°，

∵∠C=∠C，

∴△CKH∽△CHD，

∴ = ，

∴DH= = = ．

【解析】（1）如图1中，连接BC．欲证明DE=DF，只要证明∠E=∠EFD．（2）如图2中，连接AD、DK、BC．首先证明∠ADC=∠KCD，再证明∠EFD=∠ADC，即可推出∠EFD=∠KCD，推出KC∥FN，由此即可解决问题．（3）如图3中，作ON⊥BE于N，HK⊥CD于K，连接EO．想办法证明△OHK≌△OBN，推出HK=BN=2 ，再证明△CKH∽△CHD，得 = ，利用勾股定理求出KC即可解决问题．