Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣ ），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．

（1）求a的值及点A，B的坐标；
（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；
（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣ ）．

∴a﹣3=﹣ ，解得：a= ，

∴y= （x+1）2﹣3

当y=0时，有 （x+1）2﹣3=0，

∴x1=2，x2=﹣4，

∴A（﹣4，0），B（2，0）．

（2）

解：∵A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣ ），D（﹣1，﹣3）

∴S四边形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC= ×3×3+ （ +3）×1+ ×2× =10．

从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：

①当直线l边AD相交与点M1时，则S = ×10=3，

∴ ×3×（﹣y ）=3

∴y =﹣2，点M1（﹣2，﹣2），过点H（﹣1，0）和M1（﹣2，﹣2）的直线l的解析式为y=2x+2．

②当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2（ ，﹣2），过点H（﹣1，0）和M2（ ，﹣2）的直线l的解析式为y=﹣ x﹣ ．

综上所述：直线l的函数表达式为y=2x+2或y=﹣ x﹣ ．

（3）

解：设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，

∴﹣k+b=0，

∴b=k，

∴y=kx+k．

由 ，

∴ +（ ﹣k）x﹣ ﹣k=0，

∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，

∵点M是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式的点M（ k﹣1， k2）．

假设存在这样的N点如图，

直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3

由 ，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∴N（3k﹣1，3k2﹣3）

∵四边形DMPN是菱形，

∴DN=DM，

∴（3k）2+（3k2）2=（ ）2+（ ）2，

整理得：3k4﹣k2﹣4=0，

∵k2+1＞0，

∴3k2﹣4=0，

解得k=± ，

∵k＜0，

∴k=﹣ ，

∴P（﹣3 ﹣1，6），M（﹣ ﹣1，2），N（﹣2 ﹣1，1）

∴PM=DN=2 ，

∵PM∥DN，

∴四边形DMPN是平行四边形，

∵DM=DN，

∴四边形DMPN为菱形，

∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣2 ﹣1，1）．

【解析】（1）把点C代入抛物线解析式即可求出a，令y=0，列方程即可求出点A、B坐标．（2）先求出四边形ABCD面积，分两种情形：①当直线l边AD相交与点M1时，根据S = ×10=3，求出点M1坐标即可解决问题．②当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2坐标．（3）设P（x1 ， y1）、Q（x2 ， y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，得到b=k，利用方程组求出点M坐标，求出直线DN解析式，再利用方程组求出点N坐标，列出方程求出k，即可解决问题．