Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.

（1）求证：DC＝DE；
（2）若tan∠CAB＝ ，AB＝3，求BD的长.

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，

∵CD是⊙O的切线，

∴∠OCD=90°，

∴∠ACO+∠DCE=90°，

又∵ED⊥AD，

∴∠EDA=90°，

∴∠EAD+∠E=90°，

∵OC=OA，

∴∠ACO=∠EAD，

故∠DCE=∠E，

∴DC=DE

（2）解：设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，
在Rt△EAD中，∵tan∠CAB= ，
∴ED= AD= （3+x），由（1）知，DC= （3+x），
在Rt△OCD中， ，
则 ，
解得： （舍去）， ，
故BD=1．

【解析】（1）抓住已知条件CD是⊙O的切线，因此连接OC得出∠OCD=90°，证得∠ACO+∠DCE=90°，再根据ED⊥AD，去证明∠EAD+∠E=90°，由OC=OA，得出∠ACO=∠EAD，根据等角的余角相等即可证得结论。
（2）设BD=x，由AB＝3，求出OB的长，表示出OD的长，再在Rt△EAD中，由tan∠CAB的值，可表示出DE的长，即可得到DC的长，然后在Rt△OCD中，利用勾股定理建立关于x的方程，求解即可得出BD的长。