Question

【题目】已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，直接写出∠EAF、∠AED、∠EDG之间的数量关系；
（2）如图2，当点E在FG延长线上时，求证：∠EAF=∠AED+∠EDG；
（3）如图3，AI平分∠BAE，DI交AI于点I，交AE于点K，且∠EDI：∠CDI=2：1，∠AED=20°，∠I=30°，求∠EKD的度数．

Answer 1

【答案】
（1）解：∠AED=∠EAF+∠EDG．

理由：如图1，过E作EH∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EH，

∴∠EAF=∠AEH，∠EDG=∠DEH，

∴∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG；

（2）解：证明：如图2，设CD与AE交于点H，

∵AB∥CD，

∴∠EAF=∠EHG，

∵∠EHG是△DEH的外角，

∴∠EHG=∠AED+∠EDG，

∴∠EAF=∠AED+∠EDG；

（3）解：）∵AI平分∠BAE，

∴可设∠EAI=∠BAI=α，则∠BAE=2α，

∵AB∥CD，

∴∠CHE=∠BAE=2α，

∵∠AED=20°，∠I=30°，∠DKE=∠AKI，

∴∠EDI=α+30°﹣20°=α+10°，

又∵∠EDI：∠CDI=2：1，

∴∠CDI= ∠EDK= α+5°，

∵∠CHE是△DEH的外角，

∴∠CHE=∠EDH+∠DEK，

即2α= α+5°+α+10°+20°，

解得α=70°，

∴∠EDK=70°+10°=80°，

∴△DEK中，∠EKD=180°﹣80°﹣20°=80°．

【解析】（1）过E作EH∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可得出∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG；（2）设CD与AE交于点H，根据∠EHG是△DEH的外角，即可得出∠EHG=∠AED+∠EDG，进而得到∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）设∠EAI=∠BAI=α，则∠CHE=∠BAE=2α，进而得出∠EDI=α+10°，∠CDI= α+5°，再根据∠CHE是△DEH的外角，可得∠CHE=∠EDH+∠DEK，即2α= α+5°+α+10°+20°，求得α=70°，即可根据三角形内角和定理，得到∠EKD的度数．
【考点精析】关于本题考查的平行线的性质和三角形的内角和外角，需要了解两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角才能得出正确答案．