Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB＝6，求MNMC的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）18

【解析】

（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可，根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP，故PC是⊙O的切线；

（2）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ABM＝∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MNMC，代入数据可得MNMC= BM2=18．

（1）证明：∵∠COB=2∠PCB，∠COB=2∠A，

∴∠A=∠PCB，

又∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠A+∠CBA=90°，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半径，

∴PC是⊙O的切线；

（2）连接MA、MB，

∵点M是的中点，

∴∠ABM＝∠BCM，

又∵∠BMN＝∠CMB，

∴△MBN∽△MCB，

∴，即MN·MC＝MB2，

又∵AB是⊙O的直径且点M是的中点，

∴∠AMB＝90°且AM＝BM，

∵AB＝6，

∴BM＝AM=，

∴MN·MC＝BM2＝18．