Question

【题目】如图1，将边长为1的正方形ABCD压扁为边长为1的菱形ABCD．在菱形ABCD中，∠A的大小为α，面积记为S．

（1）请补全下表：

	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
S				1

（2）填空：

由（1）可以发现正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠A大小的变化而变化，不妨把菱形的面积S记为S(α)．例如：当α＝30°时，；当α＝135°时，．由上表可以得到( ______°)；( ______°)，…，由此可以归纳出．

（3） 两块相同的等腰直角三角板按如图的方式放置，AD＝，∠AOB＝α，试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等，并说明理由（注：可以利用（2）中的结论）．

Answer 1

【答案】（1）；；；；（2）120；30；α；（3）两个带阴影的三角形面积相等，证明见解析.

【解析】（1）过D作DE⊥AB于点E，当α=45°时，可求得DE，从而可求得菱形的面积S，同理可求当α=60°时S的值，当α=120°时，过D作DF⊥AB交BA的延长线于点F，则可求得DF，可求得S的值，同理当α=135°时S的值；

（2）根据表中所计算出的S的值，可得出答案；

（3）将△ABO沿AB翻折得到菱形AEBO，将△CDO沿CD翻折得到菱形OCFD．利用（2）中的结论，可求得△AOB和△COD的面积，从而可求得结论．

（1）当α=45°时，如图1，过D作DE⊥AB于点E，

则DE=AD=，

∴S=ABDE=，

同理当α=60°时S=，

当α=120°时，如图2，过D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，

则∠DAE=60°，

∴DF=AD=，

∴S=ABDF=，

同理当α=150°时，可求得S=，

故表中依次填写：；；；；

（2）由（1）可知S（60°）=S（120°），

S（150°）=S（30°），

∴S（180°-α）=S（α）

故答案为：120；30；α；

（3）两个带阴影的三角形面积相等．

证明：如图3将△ABO沿AB翻折得到菱形AMBO，将△CDO沿CD翻折得到菱形OCND．

∵∠AOD=∠COB=90°，

∴∠COD+∠AOB=180°，

∴S△AOB=S菱形AMBO=S（α）

S△CDO=S菱形OCND=S（180°-α）

由（2）中结论S（α）=S（180°-α）

∴S△AOB=S△CDO．