Question

【题目】已知：关于x的一元二次方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0(m>3)．

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1<x2．

①求方程的两个实数根x1，x2（用含m的代数式表示）；

②若mx1<8-4x2，直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①x1=1，x2=；②．

【解析】（1）由于m＞3，此方程为关于x的一元二次方程，再计算出判别式△=（m-3）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；

（2）②由求根公式得到x=1，或x=，即可得到结论；②根据mx1＜8-4x2，即可得到 结果．

（1）证明：∵mx2-3（m-1）x+2m-3=0（m＞3）是关于x的一元二次方程，

∴△=[（-3（m-1）]2-4m（2m-3）=m2-6m+9=（m-3）2，

∵m＞3，

∴（m-3）2＞0，即△＞0，

∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）①由求根公式得x=，

∴x=1，或x=，

当x1=1，x2=2-，

②则mx1＜8-4x2，

即m＜8-8+，

∴3＜m＜2；

当x1=2-，x2=1，

则2m-3＜4，

∴3＜m＜.

综上所述，3＜m＜2．