Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足若 = ，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．
（1）求证：△ADF∽△AED；
（2）求FG的长；
（3）求tan∠E的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴DG=CG，

∴由垂径定理可知： ，

∴∠ADF=∠AED，

∵∠FAD=∠DAE（公共角），

∴△ADF∽△AED

（2）解：∵ = ，CF=2，

∴FD=6，

∴CD=DF+CF=8，

∴由垂径定理可知：CG=DG=4，

∴FG=CG﹣CF=2

（3）解：∵AF=3，FG=2，

在△AFG中，

∴由勾股定理可知：AG= = ，

tan∠E=tan∠ADF= =

【解析】（1）AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DG=CG，由垂径定理可知： ，从而可知∠ADF=∠AED，从而可证明△ADF∽△AED．（2）由于 = ，所以CF=2，FD=6，从而CD=DF+CF=8，由垂径定理可知CD=DG=4，从而求出FG的长度；（3）由于AF=3，FG=2，由勾股定理可知：AG= = ，从而可知tan∠E=tan∠ADF= = ．
【考点精析】关于本题考查的勾股定理的概念和垂径定理，需要了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧才能得出正确答案．