Question

【题目】若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和，则这个函数称为另两个函数的“生成函数”。现有关于x的两个二次函数y1、y2，且y1＝a(x－m)2＋4(m>0)，y1、y2的“生成函数”为：y＝x2＋4x＋14；当x＝m时，y2＝15；二次函数y2的图象的顶点坐标为(2，k)。

(1)求m的值；

(2)求二次函数y1、y2的解析式。

Answer 1

【答案】(1)m=1;(2) y1＝4x2－8x＋8，y2＝－3x2＋12x＋6.

【解析】

(1)根据已知新定义和当x＝ m时,y2＝ 15得出15＝ m2－ a(m－ m)2＋4m ＋ 10,求出即可;

(2)把m的值代入函数y2，根据顶点的横坐标即可求出a,再把a的值代入求出即可.

解：(1)由“生成函数”的概念，可知y＝y1＋y2.

∵y1＝a(x－m)2＋4，y＝x2＋4x＋14，

∴y2＝y－y1＝x2＋4x＋14－a(x－m)2－4.

∵当x＝m时，y2＝15，∴15＝m2＋4m＋10，得m1＝－5，m2＝1

又∵m>0，

∴m＝1.

(2)由m＝1得，y2＝x2＋4x＋14－a(x－1)2－4

＝(1－a)x2＋(4＋2a)x＋10－a.

∵二次函数y2的图象的顶点坐标为(2，k)，

∴对称轴x＝－＝2，解得a＝4.

∴y1＝4(x－1)2＋4＝4x2－8x＋8，

∴y2＝(1－4)x2＋(4＋2×4)x＋10－4＝－3x2＋12x＋6.