Question

【题目】已知△ABC，O 是△ABC 所在平面内的一点，连接 OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2．

(1)如图(1)，当点 O 在图中所示的位置时，∠1＋∠2＋∠A＋∠O＝ ；

(2)如图(2)，当点 O 在△ABC 的内部时，∠1、∠2、∠A、∠OC四个角之间满足怎样 的数量关系？请写出你的结论并说明理由；

(3)当点 O 在△ABC 所在平面内运动时(点 O 不在三边所在的直线上)，由于所处的位 置不同，∠1、∠2、∠A、∠OC四个角之间满足的数量关系还存在着与(1)、(2) 中不同的结论，请在图(3)中画出一种不同的示意图，并直接写出相应的结论．

Answer 1

【答案】（1）360°；（2）∠O=∠1+∠2+∠A；（3）∠A=∠2+∠O-∠1；

【解析】

（1）根据四边形内角和定理解答即可；

（2）连接OA，并延长交BC于D点，根据三角形内角与外角的性质解答即可；

（3）根据题意画出图形，再写出结论．

(1)如图(1)，当点O与点A在直线BC的异侧时，

∵AB、OB、OC、AC四条线段正好构成四边形，

∴∠1+∠2+∠A+∠O=360；

(2)连接OA，并延长交BC于D点，

∵∠BOD是△AOB的外角，

∴∠OAB+∠1=∠BOD，

∵∠COD是△AOB的外角，

∴∠OAC+∠2=∠COD，

∴∠OAB+∠1+∠OAC+∠2=∠COD+∠BOD，

即∠1+∠2+∠A=∠O.

(3)如图所示，

∠A=∠2+∠O∠1.

在△ABD中,∠4=180∠A∠1，

∵∠3=∠4，

∴∠3=180∠A∠1，

∴∠3+∠2+∠O=180，

∴180∠A∠1+∠2+∠O=180，

整理得，∠A=∠2+∠O∠1.