Question

【题目】如图 (1)，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E.求证：

（1）△DOE是等边三角形.
（2）如图(2)，若∠A=60°，AB≠AC ， 则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵△ABC为等边三角形，

∴∠B=∠C=60°.

∵OB=OC=OE=OD，∴△OBD和△OEC都为等边三角形.

∴∠BOD=∠EOC=60°.∴∠DOE=60°.

∴△DOE为等边三角形.

（2）

解:当∠A=60°，AB≠AC时，（1）中的结论仍然成立.

证明：连结CD.∵BC为⊙O的直径，

∴∠BDC=90°.∴∠ADC=90°.

∵∠A=60°，∴∠ACD=30°.∴∠DOE=2∠ACD=60°.

∵OD=OE，∴△DOE为等边三角形.

【解析】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°.
∵OB=OC=OE=OD，∴△OBD和△OEC都为等边三角形.
∴∠BOD=∠EOC=60°.∴∠DOE=60°.
∴△DOE为等边三角形.
（2）当∠A=60°，AB≠AC时，（1）中的结论仍然成立.
证明：连结CD.∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°.∴∠ADC=90°.
∵∠A=60°，∴∠ACD=30°.∴∠DOE=2∠ACD=60°.
∵OD=OE，∴△DOE为等边三角形.

【考点精析】本题主要考查了等边三角形的性质和圆周角定理的相关知识点，需要掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半才能正确解答此题．