Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象是直线l1 ， l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点．直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，其中a＞0．点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位．
（1）写出A点的坐标和AB的长；
（2）当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l2、y轴都相切，求此时a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵一次函数 的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，

∴y=0时，x=﹣4，

∴A（﹣4，0），AO=4，

∵图象与y轴交点坐标为：（0，3），BO=3，

∴AB=5

（2）解：由题意得：AP=4t，AQ=5t， =t，

又∠PAQ=∠OAB，

∴△APQ∽△AOB，

∴∠APQ=∠AOB=90°，

∵点P在l1上，

∴⊙Q在运动过程中保持与l1相切，

①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，设l2与⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB，得：

∴ ，

∴PQ=6；

故AQ=10，则运动时间为： =2（秒）；

连接QF，则QF=PQ，

∵直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，FQ⊥l2，

∴∠APQ=∠QFC=90°，AP∥FQ，

∴∠PAQ=∠FQC，

∴△QFC∽△APQ，

∴△QFC∽△APQ∽△AOB，

得： ，

∴ ，

∴ ，

∴QC= ，

∴a=OQ+QC=OC= ，

②如图2，当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，设l2与⊙Q相切于E，由△APQ∽△AOB得： ，

∴PQ= ，

则AQ=4﹣ =2.5，

∴则运动时间为： = （秒）；

故当点P、Q运动了2秒或 秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l2、y轴都相切，

连接QE，则QE=PQ，

∵直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，⊙Q在运动过程中保持与l1相切于点P，

∴∠AOB=90°，∠APQ=90°，

∵∠PAO=∠BAO，

∴△APQ∽△AOB，

同理可得：△QEC∽△APQ∽△AOB得： ，

∴ ， = ，

∴QC= ，a=QC﹣OQ= ，

综上所述，a的值是： 和 ，

【解析】（1）根据一次函数图象与坐标轴的交点求法，分别求出坐标即可；（2）根据相似三角形的判定得出△APQ∽△AOB，以及当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，分别分析得出答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的性质定理的相关知识，掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径，以及对相似三角形的判定与性质的理解，了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．