Question

【题目】在一次数学课上，老师出示了这样一道题目：“如图，BD是矩形ABCD的对角线，将AB沿BE折叠，使A点落在BD上的点G处，将边CD沿DF折叠，使点C落在BD上的点H处，求证：四边形BEDF是平行四边形”．小丽选择了先证明△DEG≌△BFH，再证明DE=BF，进而得到四边形BEDF是平行四边形，小明向老师提出了另一种证明方法．
（1）小丽证明四边形BEDF是平行四边形的依据是；

（2）按小明的想法写出证明过程；
（3）当学生们完成了证明后，老师又提出如下问题，连接EH，FG，若AB=6，BC=8，试求四边形EGFH的周长．

Answer 1

【答案】
（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（2）证明：由翻折的性质可知：∠ABE=∠DBE═ ，EG=EA，FH=FC

∠BDF═∠CDF= ．

又∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，

∴∠DBE=∠BDF，

∴BE∥DF，

又DE∥BF，

∴四边形BEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）；

（3）解：连接EH、GF，如图所示：

∵∠A=90°，AD=BC=8，AB=6，GB=AB=6，

∴BD= =10，

∴DG=BD﹣GB=4，

设AE=x，则DE=8﹣x，EG=AE=x，

在Rt△DGE中，由勾股定理得（8﹣x）2=x2+42，

解得x=3，

∴AE=3，

同理FH=3，

由（1）得：EG=FH，

∵EG⊥BD，FH⊥BD，

∴EG∥FH，

∴四边形EGFH是平行四边形，EG=FH=3，

∵BG=DH=6，

∴DG=BH=4，

∴GH=2，

在Rt△EGH中， ，

四边形EGFH的周长为 ．

【解析】（1）解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，∠A=∠C=90°，

∴∠EDG=∠FBH，

由折叠的性质得：∠EGB=∠A=90°，GB=AB，HD=CD，

∴∠DGE=∠BHF=90°，DG=BH，

在△DEG和△BFH中， ，

∴△DEG≌△BFH（ASA），

∴DE=BF，

又∵DE∥BF，

∴四边形BEDF是平行四边形；

所以答案是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

【考点精析】根据题目的已知条件，利用平行四边形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积．