Question

【题目】某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
（1）观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，

①BC与CF的位置关系为： ，
②BC，DC，CF之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的①，②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

（3）拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2，CD=BC，请直接写出GE的长．

Answer 1

【答案】
（1）垂直,BC=CF+CD
（2）解：CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．理由如下：

∵正方形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△DAB与△FAC中， ，

∴△DAB≌△FAC（SAS），

∴∠ABD=∠ACF，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC=45°．

∴∠ABD=180°﹣45°=135°，

∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°，

∴CF⊥BC．

∵CD=DB+BC，DB=CF，

∴CD=CF+BC．

（3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如图3所示：

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴BC= AB=2 ，AH= BC= ，

∴CD= BC= ，CH= BC= ，

∴DH= ，

由（2）证得BC⊥CF，CF=BD= ，

∵四边形ADEF是正方形，

∴AD=DE，∠ADE=90°，

∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，

∴四边形CMEN是矩形，

∴NE=CM，EM=CN，

∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，

∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，

∴∠ADH=∠DEM，

在△ADH与△DEM中， ，

∴△ADH≌△DEM（AAS），

∴EM=DH= ，DM=AH= ，

∴CN=EM= ，EN=CM= ，

∵∠ABC=45°，

∴∠BGC=45°，

∴△BCG是等腰直角三角形，

∴CG=BC=2 ，

∴GN=CG﹣CN= ，

∴EG= = = ．

【解析】解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△DAB与△FAC中， ，

∴△DAB≌△FAC（SAS），

∴∠B=∠ACF，

∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；

所以答案是：垂直；②△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，

∵BC=BD+CD，

∴BC=CF+CD；

所以答案是：BC=CF+CD；

【考点精析】根据题目的已知条件，利用正方形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．