Question

【题目】已知抛物线y=x2+4x+m（m为常数）经过点（0，4）
（1）求m的值；
（2）将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线．已知这条平移后的抛物线满足下述两个条件：它的对称轴（设为直线l2）与平移前的抛物线的对称轴（设为l1）关于y轴对称；它所对应的函数的最小值为﹣8．
①试求平移后的抛物线所对应的函数关系式；
②试问在平移后的抛物线上是否存在着点P，使得以3为半径的⊙P既与x轴相切，又与直线l2相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出直线l2被⊙P所截得的弦AB的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：依题意得：02+4×0+m=4，解得m=4

（2）

解：①由（1）得：y=x2+4x+4=（x+2）2，

∴对称轴为直线l1：x=﹣2

依题意得平移后的抛物线的对称轴为直线l2：x=2

故设平移后的抛物线所对应的函数关系式为y=（x﹣2）2+k

∵此函数最小值为﹣8，

∴k=﹣8

即平移后的抛物线所对应的函数关系式为y=（x﹣2）2﹣8=x2﹣4x﹣4

②存在．理由如下：

由①知平移后的抛物线的对称轴为直线l2：x=2

当点P在x轴上方时，∵⊙P与x轴相切，

∴令y=x2﹣4x﹣4=3，

解得x=2±

∵此时点P1（2+ ，3），P2（2﹣ ，3）与直线x=2之距均为 ，

∴点P1、P2不合题意，应舍去．

当点P在x轴下方时，

∵⊙P与x轴相切，

∴令y=x2﹣4x﹣4=﹣3，

解得x=2± （10分）

此时点P3（2+ ，﹣3），P4（2﹣ ，﹣3）与直线x=2之距均为 ，

∵ ＜3，⊙P3、⊙P4均与直线l2：x=2相交，

∴点P3、P4符合题意．

此时弦AB=2×

综上，点P的坐标为（2+ ，﹣3）或（2﹣ ，﹣3），

直线l2被⊙P所截得的弦AB的长为4．

【解析】（1）将（0，4）代入抛物线，得：02+4×0+m=4，解得m=4；（2）①根据（1）求出的抛物线，可知其对称轴，平移后的抛物线的对称轴与平移前的对称轴关于y轴对称，即可求出新抛物线对称轴，再根据第二个条件，最小值为﹣8，即可求出平移后的抛物线的关系式；②该题需要分情况讨论，假设p点存在，且p在x轴上方，根据题意可知，p的纵坐标是3，代入关系式求解，求出p点坐标，在验证该点是否在直线上；若p在y轴下方，则p的纵坐标是﹣3，代入关系式，求出坐标，再进行检验．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．