Question

【题目】如图，己知抛物线与直线的一个交点记为A，点A的横坐标是－3.

（1）求抛物线M1的表达式及它的顶点坐标；

（2）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M2，直线与M2的一个交点记为B，点C是线段AB上的一个动点，过点C作x轴的垂线，垂足为D，在CD的右侧作正方形CDEF.

①当点C的横坐标为2时，直线y＝x＋n恰好经过正方形CDEF的顶点F，求此时n的值；

②在点C的运动过程中，若直线y＝x＋n与正方形CDEF始终没有公共点，求n的取值范围（直接写出结果）.

Answer 1

【答案】（1），顶点为；（2）①，②

【解析】分析：（1）将点A横坐标代入y=x，即可得出点A纵坐标，从而得出点A的坐标，根据点A在抛物线M1：y=ax2+4x上，代入即可得出a的值，将抛物线M1化为顶点式，根据平移的原则即可得出抛物线M2；

（2）①把点C横坐标代入y=x，即可得出点C坐标，从而得出点F坐标，把点F代入y=x+n即可得出n的值；

②根据直线y=x+n与正方形CDEF始终没有公共点，直接可得出n的取值范围．

详解：（1）∵点A在直线y=x，且点A的横坐标是-3，

∴A（-3，-3），

把A（-3，-3）代入y=ax2+4x，

解得a=1．

∴M1：y=x2+4x，顶点为（-2，-4）．

∴M2的顶点为（1，-1）．

∴M2的表达式为y=x2-2x．

（2）①由题意，C（2，2），

∴F（4，2）．

∵直线y=x+n经过点F，

∴2=4+n．

解得n=-2．

②由题意得：n的取值范围是n＞3，n＜-6．