Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝EF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的个数是（　　）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Answer 1

【答案】C

【解析】

证明△BCO是等腰三角形即可证明①正确；由EG=AB，EF=AB可证②成立；由中点的性质可得出EF∥CD，且EF=CD=BG，结合平行即可证得③结论成立；由三线合一可证明④成立；无法证明⑤成立；此题得解．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BD＝2BO，AD=BC，

∵BD＝2AD，

∴BD＝2BC，

∴BO=BC,

∵E为OC中点，

∴BE⊥AC，故①成立；

∵BE⊥AC，G是AB中点，

∴EG=AB，

∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，且EF=CD，

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB=CD，

∴EF=AB，

∴EF=EG，故②成立；

∵AB∥CD，EF∥CD，

∴EF∥AB,

∴∠FEG=∠BGE（两直线平行，内错角相等），

在△EFG和△GBE中，

∵BG=FE，∠FEG=∠BGE，GE=EG，

∴△EFG≌△GBE（SAS），即③成立；

∵BG=FE，EF∥AB,

∴四边形BEFG是平行四边形，

∵BE⊥AC，

∴GF⊥AC，

∵EF=EG，

∴∠AEG=∠AEF,

即EA平分∠GEF

故④正确，

若四边形BEFG是菱形

∴BE＝BG＝AB，

∴∠BAC＝30°

与题意不符合

故⑤错误

故选C．