Question

【题目】如图，在ABCD中 过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．
（1）求证：△ABF∽△BEC；
（2）若AD=5，AB=8，sinD= ，求AF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，

∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，

∵∠AFB+∠AFE=180°，

∴∠C=∠AFB，

∴△ABF∽△BEC；

（2）解：∵AE⊥DC，AB∥DC，

∴∠AED=∠BAE=90°，

在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE= = =4 ，

在Rt△ADE中，AE=ADsinD=5× =4，

∵BC=AD=5，

由（1）得：△ABF∽△BEC，

∴ ，即 ，

解得：AF=2 ．

∵△ADF∽△DEC，

【解析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，证出∠C=∠AFB，即可得出结论；（2）由勾股定理求出BE，由三角函数求出AE，再由相似三角形的性质求出AF的长．
【考点精析】关于本题考查的平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，需要了解平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．