Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O切线与AC的延长线交于点E，ED∥BC，连接AD交BC于点F.

（1）求证：∠BAD＝∠DAE；

（2）若AB＝6，AD＝5，求DF的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）连接OD，由ED为⊙O的切线，根据切线的性质得到OD⊥ED，由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据平行线的判定和性质得到角之间的关系，又因为OA=OD，得到∠BAD=∠ADO，推出结论∠BAD=∠DAE；

（2）连接BD，得到∠ADB=90°，由勾股定理得到，根据三角函数的定义得到tan∠CBD=tan∠BAD=，由DF=BDtan∠CBD=．

详解：（1）连接OD，

∵ED为⊙O的切线，

∴OD⊥ED，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵BC∥ED，

∴∠ACB=∠E=∠EDO，

∴AE∥OD，

∴∠DAE=∠ADO，

∵OA=OD，

∴∠BAD=∠ADO，

∴∠BAD=∠DAE；

（2）连接BD，

∴∠ADB=90°，

∵AB=6，AD=5，

∴，

∵∠BAD=∠DAE=∠CBD，

∴tan∠CBD=tan∠BAD=，

在Rt△BDF中，

∴DF=BDtan∠CBD=．