Question

【题目】已知：在△ABC中，AC=BC， ，过点C作CD⊥AB于点D，点E是AB边上一动点（不同于点A、B），连接CE，过点B作CE的垂线交直线CE于点F，交直线CD于点G（如图1）.

（1）求证：BG=CE；

（2）若点E运动到线段BD上时（如图2），试猜想BG、CE的数量关系是否发生变化？请直接写出你的结论；

（3）过点A作AH垂直于直线CE垂足为点H并交CD的延长线于点M（如图3），找出图中与BE相等的线段，并证明.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）不变，BG=CE；（3）BE=CM，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）先由等边对等角得出∠ABC=∠CAB，再由同角的余角相等证得∠ACE=∠CBG，再由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠BCD，由边角边可得△BCG≌△ACE，即可证得BG=CE；

（2）如图②，根据等腰直角三角形的性质可以得出∠BCD=∠ACD=45°，根据直角三角形的三角形的性质就可以得出∠CBF=∠ACE，由ASA就可以得出BCG≌△ACE，就可以得出结论；

（3）如图③，根据等腰直角三角形的性质可以得出∠BCD=∠ACD=45°，根据直角三角形的三角形的性质就可以得出∠BCE=∠CAM，由ASA就可以得出△BCE≌△CAM，就可以得出结论；

证明：（1） ∵AC=BC，

∴∠ABC=∠CAB，

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°，

∵BF⊥CE，

∴∠BFC=90°，

∴∠CBG+∠BCE=90°，

∴∠ACE=∠CBG，

∵在Rt△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，

∴∠BCD=∠ACD=45°，

∴∠A=∠BCD，

在△BCG和△CAE中，

，

∴△BCG≌△ACE（ASA），

∴BG=CE；

（2）不变．BG=CE；

∵AC=BC，

∴∠ABC=∠CAB，

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°，

∵BF⊥CE，

∴∠BFC=90°，

∴∠CBG+∠BCE=90°，

∴∠ACE=∠CBG，

∵在Rt△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，

∴∠BCD=∠ACD=45°，

∴∠A=∠BCD，

在△BCG和△CAE中，

，

∴△BCG≌△ACE（ASA），

∴BG=CE；

（3）BE=CM，

理由：∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠ABC=∠CAB=45°，∠ACE+∠BCE=90°，

∵AH⊥CE，

∴∠AHC=90°，

∴∠HAC+∠ACE=90°，

∴∠BCE=∠HAC，

即：∠BCE=∠CAM，

∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，

∴∠BCD=∠ACD=45°

∴∠ACD=∠ABC，

即：∠ACM=∠CBE，

在△BCE和△CAM中， ，

∴△BCE≌△CAM（ASA）

∴BE=CM．